les mathématiques

Si les mathématiques ont en commun avec la logique de ne jamais procéder par expériences, elles s'en distinguent néanmoins par le fait qu'elles se consacrent ou s'appliquent à la définition d'objets particuliers : les objets mathématiques (les nombres, les figures, les fonctions, les opérations, etc..). les mathématiques n'ont à rendre compte d'aucune réalité extérieure :
elles n'ont jamais affaire qu'aux objets qu'elles construisent. En mathématique, construire son objet et découvrir ses propriétés sont une seule et même démarche. Une théorie mathématique construit son objet (par exemple une figure dans un cercle) à mesure qu'elle l'explore. Ce qu'à de particulier un objet mathématique, c'est qu'il existe à partir du moment où on peut le construire. Une fois qu'on a construit l'objet, il n'y a pas lieu de 'il n'y aurait même aucun sens à) se demander si il existe.
mais les théories mathématiques ne peuvent s'élaboreret construire leurs objets qu'à partir d'hypothèsesqu'on appelle axiomes ou postulats. ( Les mathématiques antiques comme la géométrie euclidienne distinguaient les axiomes supposés évidents par eux-mêmes sans qu'il y ait besoin d'une démonstration des postulats qui étaient ce que le mathématicien demandait d'admettre au départ (postulare = demander en latin). Les théories mathématiques modernes, formalisées depuis le XIX° siècle, ayant montré que le recours à l'évidence intuitive est trompeur en mathématique, ne font plus de distinction entre un axiome et un postulat).
Les hypothèses sont ce à partir de quoi on démontre en mathématiques, jamais ce qu'on démontre. Une hypothèse mathématique restera toujours une hypothèse c'est-à-dire ce qui définit dans quelle théorie on se situe, et ce sur quoi on se fonde pour démontrer les théorèmes (alors que dans les sciences de la nature les hypothèses sont ce qu'on tente de démontrer ou d'infirmer par le recours à l'expérience.) Une proposition est vraie dans une théorie mathématique (= est un théorème de cette théorie) si et seulement si elle découle par voie démonstrative des hypothèses de cette théorie. Une proposition peut donc être vraie dans une théorie et fausse dans une autre. Il n'y a donc aucun sens à se demander, en mathématiques, si une proposition est vraie ou fausse dans l'absolu, sans préciser dans le cadre de quelle théorie on se situe. Est vraie dans une théorie toute proposition démontrable à partir d'hypothèses de cette théorie.
Il n'y a donc aucun sens, à se demander si les hypothèses sont vraies ou fausses en mathématiques. Les hypothèses sont de simples conventions.
Qui définissent à l'intérieur de quelle théorie on se situe. Ce n'est donc pas que les postulats soient "vrais" sans qu'on puisse le démontrer, ni qu'on ne soit pas sûr s'ils sont vrais ou faux : on est sûr qu'ils ne sont ni vrais ni faux, ou plutôt que la question de savoir s'ils sont vrais ou faux n'a aucun sens mathématiques.
Il n'y a donc pas non plus de sens à se demander si une théorie mathématique est vraie ou fausse (vraie ou fausse par rapport à quoi, en l'absence de toute expérience ? ) : tout ce qu'on peut demander à une théorie mathématique, c'est d'être valide, c'est-à-dire logiquement cohérente ou "consistante" (= qu'on ne puisse jamais y démontrer à la fois une proposition et son contraire). Mais validité n'est pas vérité
validité signifie cohérence logique et non adéquation à une réalité extérieure. Les mathématiques, n'ayant jamais affaire qu'aux objets qu'elles construisent elles-mêmes, la question de la vérité d'une proposition ne peut se poser qu'une fois la théorie définie, c'est-à-dire une fois les postulats posés.

Conclusion :

A défaut d'une confrontation avec l'expérience, la coexistence des théories en mathématiques comme en logique ne peut être que pacifique. Plusieurs théories peuvent coexister(et coexistent effectivement) comme des conventions ou des règles du jeu sur lesquelles il convient de se mettre d'accord
au départ mais qu'on peut faire varier à volonté. (= on peut se situer alternativement dans une théorie puis dans une autre).
Dans les sciences de la nature au contraire, plusieurs théories censées rendre compte des mêmes phénomènes se trouvent nécessairement en concurrence les unes avec les autres : là, la coexistence des théories est nécessairement polémique et conflictuelle.
Mais les mathématiques comme la logique n'ont aucun "phénomène" à "sauver"; les théories peuvent s'y déployer librement.