Les fractals en mots

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Pour en savoir un peu plus sur les fractals... sur son inventeur et sur ses théories. Merci à Alf, le Kroko pour ces informations :

http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-665801,0.html

Benoit Mandelbrot mathématicien français.

Il signe en 1973 dans une revue d’économie un article au titre bien prudent : Formes nouvelles du hasard dans les sciences. Cet article répertorie les cas où, contrairement au paradigme classiquement utilisé, les aléas ne s’annulent pas, mais au contraire se cumulent, et où la prédiction statistique classique ne fonctionne plus. Il cite bien entendu des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.

Il y arrive brillamment à la conclusion qu'il n'y pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s’agit là d’une illusion due au fait que nous n’étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés de la courbe de Von Koch qu’ils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir d’explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu’elles permettent d’expliquer ! Nous sommes pris dans le piège d’un argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.

Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir (voir sémantique générale, Le cru et le cuit).

Il cite alors comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier l’exemple qui deviendra célèbre de la côte de Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c’est en acceptant l’idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est dès cet article officieusement lancée.

Les principes en seront publiés avec très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d'Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même... trous du fromage d’Appenzell) dans un ouvrage qui fait depuis référence : « Les objets fractals - Forme, hasard et dimension » en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : courbe de Von Koch, éponge de Sierpinski (ou eponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme une homothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Il est à noter que les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d’économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d'images complexes, on n’en verra plus qu’en couleurs.

Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), fabriquées dans le plan complexe par itérations successives du type z (nouveau) = z² + constante.

Son travail sur les fractales en tant que mathématicien à IBM lui a valu un « Emeritus Fellowship » au Laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur Richard Voss.

En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d’objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains de recherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Il a rejoint l’université de Yale en 1987.

En 1991, Mandelbrot (systématiquement invité à tout hasard à chaque congrès portant sur les fractals) se rendit compte qu’il y en avait eu plus sur la planète cette année-là que de jours dans l’année !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot

Tout le jeu consiste à discerner sur une image ce qui pourrait bien être intéressant à agrandir, puis à ajuster les couleurs au mieux. En règle générale, plus on grossit, plus les images deviennent intéressantes... mais il se peut aussi que les images deviennent trop compliquées pour la résolution disponible à l'écran - on entre là dans le domaine des experts. A titre d'exemple, voici une image intéressante très fortement grossie.

En supposant que cette image vous apparaisse avec une largeur de 10 cm (ça dépend évidemment de votre écran), l'ensemble principal à la même échelle aurait une largeur de 10E33 cm (10 à la puissance 33), soit 10E15 années-lumière, chiffre absolument ahurissant (notre Voie Lactée ne fait que 100 000 années- lumière de diamètre).
http://gjoly.free.fr/fractales-projet/Mandel/mandel.html

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http://www.liensutiles.org/gvilleneuve.htm